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天然肠衣搭配问题

(全国竞赛2011年D题)

天然肠衣(以下简称肠衣)制作加工是我国的一个传统产业,出口量占世界首位。肠衣经过清洗整理后被分割成长度不等的小段(原料),进入组装工序。传统的生产方式依靠人工,边丈量原料长度边心算,将原材料按指定根数和总长度组装出成品(捆)。

原料按长度分档,通常以0.5米为一档,如:3-3.4米按3米计算,3.5米-3.9米按3.5米计算,其余的依此类推。表1是几种常见成品的规格,长度单位为米,∞表示没有上限,但实际长度小于26米。

 

表1 成品规格表
最短长度 最大长度 根数 总长度
3 6.5 20 89
7 13.5 8 89
14 5 89

为了提高生产效率,公司计划改变组装工艺,先丈量所有原料,建立一个原料表。表2为某批次原料描述。

表2 原料描述表
长度 3-3.4 3.5-3.9 4-4.4 4.5-4.9 5-5.4 5.5-5.9 6-6.4 6.5-6.9
根数 43 59 39 41 27 28 34 21
长度 7-7.4 7.5-7.9 8-8.4 8.5-8.9 9-9.4 9.5-9.9 10-10.4 10.5-10.9
根数 24 24 20 25 21 23 21 18
长度 11-11.4 11.5-11.9 12-12.4 12.5-12.9 13-13.4 13.5-13.9 14-14.4 14.5-14.9
根数 31 23 22 59 18 25 35 29
长度 15-15.4 15.5-15.9 16-16.4 16.5-16.9 17-17.4 17.5-17.9 18-18.4 18.5-18.9
根数 30 42 28 42 45 49 50 64
长度 19-19.4 19.5-19.9 20-20.4 20.5-20.9 21-21.4 21.5-21.9 22-22.4 22.5-22.9
根数 52 63 49 35 27 16 12 2
长度 23-23.4 23.5-23.9 24-24.4 24.5-24.9 25-25.4 25.5-25.9    
根数 0 6 0 0 0 1    

根据以上成品和原料描述,设计一个原料搭配方案,工人根据这个方案“照方抓药”进行生产。

公司对搭配方案有以下具体要求:

  • (1) 对于给定的一批原料,装出的成品捆数越多越好;
  • (2) 对于成品捆数相同的方案,最短长度最长的成品越多,方案越好;
  • (3) 为提高原料使用率,总长度允许有±0.5米的误差,总根数允许比标准少1根;
  • (4) 某种规格对应原料如果出现剩余,可以降级使用。如长度为14米的原料可以和长度介于7-13.5米的进行捆扎,成品属于7-13.5米的规格;
  • (5) 为了食品保鲜,要求在30分钟内产生方案。

请建立上述问题的数学模型,给出求解方法,并对表1、表2给出的实际数据进行求解,给出搭配方案。

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