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钻井布局

(全国竞赛1999年B,D题)

勘探部门在某地区找矿。初步勘探时期已零散地在若干位置上钻井,取得了地质资料。进入系统勘探时期后,要在一个区域内按纵横等距的网格点来布置井位,进行“撒网式”全面钻探。由于钻一口井的费用很高,如果新设计的井位与原有井位重合(或相当接近),便可利用旧井的地质资料,不必打这口新井。因此,应该尽量利用旧井,少打新井,以节约钻探费用。比如钻一口新井的费用为500万元,利用旧井资料的费用为10万元,则利用一口旧井就节约费用490万元。

设平面上有 $n$ 个点 $P_i$,其坐标为 $(a_i,b_i),i=1,2,\cdots,n$,表示已有的 $n$ 个井位。新布置的井位是一个正方形网格 $N$ 的所有结点(所谓“正方形网格”是指每个格子都是正方形的网格;结点是指纵线和横线的交叉点)。假定每个格子的边长(井位的纵横间距)都是1单位(比如100米)。整个网格是可以在平面上任意移动的。若一个已知点 $P_i$ 与某个网格结点 $X_i$ 的距离不超过给定误差$\varepsilon$(=0.05单位),则认为 $P_i$ 处的旧井资料可以利用,不必在结点 $X_i$ 处打新井。

为进行辅助决策,勘探部门要求我们研究如下问题:

  1. 假定网格的横向和纵向是固定的(比如东西向和南北向),并规定两点间的距离为其横向距离(横坐标之差绝对值)及纵向距离(纵坐标之差绝对值)的最大值。在平面上平行移动网格 $N$,使可利用的旧井数尽可能大。试提供数值计算方法,并对下面的数值例子用计算机进行计算。
  2. 在欧氏距离的误差意义下,考虑网格的横向和纵向不固定(可以旋转)的情形,给出算法及计算结果。
  3. 如果有 $n$ 口旧井,给出判定这些井均可利用的条件和算法(你可以任意选定一种距离)。

数值例子 $n=12$ 个点的坐标如下表所示:

$i$ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
$a_i$ 0.50 1.41 3.00 3.37 3.40 4.72 4.72 5.43 7.57 8.38 8.98 9.50
$b_i$ 2.00 3.50 1.50 3.51 5.50 2.00 6.24 4.10 2.01 4.50 3.41 0.80

 

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