赛程安排
(全国竞赛2002年D题)
你所在的年级有5个班,每班一支球队在同一块场地上进行单循环赛, 共要进行10场比赛. 如何安排赛程使对各队来说都尽量公平呢. 下面是随便安排的一个赛程: 记5支球队为A, B, C, D, E,在下表左半部分的右上三角的10个空格中, 随手填上1,2,¼10, 就得到一个赛程, 即第1场A对B, 第2场B对C, ¼, 第10场C对E. 为方便起见将这些数字沿对角线对称地填入左下三角.
这个赛程的公平性如何呢, 不妨只看看各队每两场比赛中间得到的休整时间是否均等. 表的右半部分是各队每两场比赛间相隔的场次数, 显然这个赛程对A, E有利, 对D则不公平.
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A |
B |
C |
D |
E |
每两场比赛间相隔场次数 |
A |
X |
1 |
9 |
3 |
6 |
1, 2, 2 |
B |
1 |
X |
2 |
5 |
8 |
0, 2, 2 |
C |
9 |
2 |
X |
7 |
10 |
4, 1, 0 |
D |
3 |
5 |
7 |
X |
4 |
0, 0, 1 |
E |
6 |
8 |
10 |
4 |
X |
1, 1, 1 |
从上面的例子出发讨论以下问题:
- 对于5支球队的比赛, 给出一个各队每两场比赛中间都至少相隔一场的赛程.
- 当n支球队比赛时, 各队每两场比赛中间相隔的场次数的上限是多少.
- 在达到2) 的上限的条件下, 给出n=8, n=9的赛程, 并说明它们的编制过程.
- 除了每两场比赛间相隔场次数这一指标外, 你还能给出哪些指标来衡量一个赛程的优劣, 并说明3) 中给出的赛程达到这些指标的程度.