投资的收益和风险
(全国竞赛1998年A题)
市场上有 $n$ 种资产(如股票、债券、…)$S_i(i=1,\cdots,n)$ 供投资者选择,某公司有数额为M的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。公司财务分析人员对这 $n$ 种资产进行了评估,估算出在这一时期内购买 $S_i$ 的平均收益率为 $r_i$,并预测出购买 $S_i$的风险损失率为 $q_i$。考虑到投资越分散,总的风险越小,公司确定,当用这笔资金购买若干种资产时,总体风险可用所投资的 $S_i$ 中最大的一个风险来度量。
购买 $S_i$ 要付交易费,费率为 $p_i$,并且当购买额不超过给定值 $u_i$时,交易费按购买 $u_i$ 计算(不买当然无须付费)。另外,假定同期银行存款利率是 $r_o$, 且既无交易费又无风险。($r_o=5\%$). 已知 $n=4$ 时的相关数据如下:
$S_i$ | $r_i(\%)$ | $q_i(\%)$ | $p_i(\%)$ | $u_i$(元) |
S1 | 28 | 2.5 | 1 | 103 |
S2 | 21 | 1.5 | 2 | 198 |
S3 | 23 | 5.5 | 4.5 | 52 |
S4 | 25 | 2.6 | 6.5 | 40 |
试给该公司设计一种投资组合方案,即用给定的资金 $M$,有选择地购买若干种资产或存银行生息,使净收益尽可能大,而总体风险尽可能小。试就一般情况对以上问题进行讨论,并利用以下数据进行计算。
$S_i$ | $r_i(\%)$ | $q_i(\%)$ | $p_i(\%)$ | $u_i$(元) |
S1 | 9.6 | 42 | 2.1 | 181 |
S2 | 18.5 | 54 | 3.2 | 407 |
S3 | 49.4 | 60 | 6.0 | 428 |
S4 | 23.9 | 42 | 1.5 | 549 |
S5 | 8.1 | 1.2 | 7.6 | 270 |
S6 | 14 | 39 | 3.4 | 397 |
S7 | 40.7 | 68 | 5.6 | 178 |
S8 | 31.2 | 33.4 | 3.1 | 220 |
S9 | 33.6 | 53.3 | 2.7 | 475 |
S10 | 36.8 | 40 | 2.9 | 248 |
S11 | 11.8 | 31 | 5.1 | 195 |
S12 | 9 | 5.5 | 5.7 | 320 |
S13 | 35 | 46 | 2.7 | 267 |
S14 | 9.4 | 5.3 | 4.5 | 328 |
S15 | 15 | 23 | 7.6 | 131 |