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投资的收益和风险

(全国竞赛1998年A题)

市场上有 $n$ 种资产(如股票、债券、…)$S_i(i=1,\cdots,n)$ 供投资者选择,某公司有数额为M的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。公司财务分析人员对这 $n$ 种资产进行了评估,估算出在这一时期内购买 $S_i$ 的平均收益率为 $r_i$,并预测出购买 $S_i$的风险损失率为 $q_i$。考虑到投资越分散,总的风险越小,公司确定,当用这笔资金购买若干种资产时,总体风险可用所投资的 $S_i$ 中最大的一个风险来度量。

购买 $S_i$ 要付交易费,费率为 $p_i$,并且当购买额不超过给定值 $u_i$时,交易费按购买 $u_i$ 计算(不买当然无须付费)。另外,假定同期银行存款利率是 $r_o$, 且既无交易费又无风险。($r_o=5\%$). 已知 $n=4$ 时的相关数据如下:

$S_i$ $r_i(\%)$ $q_i(\%)$ $p_i(\%)$ $u_i$(元)
S1 28 2.5 1 103
S2 21 1.5 2 198
S3 23 5.5 4.5 52
S4 25 2.6 6.5 40

试给该公司设计一种投资组合方案,即用给定的资金 $M$,有选择地购买若干种资产或存银行生息,使净收益尽可能大,而总体风险尽可能小。试就一般情况对以上问题进行讨论,并利用以下数据进行计算。

$S_i$ $r_i(\%)$ $q_i(\%)$ $p_i(\%)$ $u_i$(元)
S1 9.6 42 2.1 181
S2 18.5 54 3.2 407
S3 49.4 60 6.0 428
S4 23.9 42 1.5 549
S5 8.1 1.2 7.6 270
S6 14 39 3.4 397
S7 40.7 68 5.6 178
S8 31.2 33.4 3.1 220
S9 33.6 53.3 2.7 475
S10 36.8 40 2.9 248
S11 11.8 31 5.1 195
S12 9 5.5 5.7 320
S13 35 46 2.7 267
S14 9.4 5.3 4.5 328
S15 15 23 7.6 131
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