截断切割
(全国竞赛1997年B题)
某些工业部门(如贵重石材加工等)采用截断切割的加工方式。这里“截断切割”是指将物体沿某个切割平面分成两部分。从一个长方体中加工出一个已知尺寸、位置预定的长方体(这两个长方体的对应表面是平行的)，通常要经过6次截断切割。设水平切割单位面积的费用是垂直切割单位面积费用的 $r$ 倍，且当先后两次垂直切割的平面(不管它们之间是否穿插水平切割)不平行时，因调整刀具需额外费用 $e$。试为这些部门设计一种安排各面加工次序(称“切割方式”)的方法，使加工费用最少。(由工艺要求，与水平工作台接触的长方体底面是事先指定的)详细要求如下：
1）需考虑的不同切割方式的总数。
2）给出上述问题的数学模型和求解方法。
3）试对某部门用的如下准则作出评价：每次选择一个加工费用最少的待切割面进行切割。
4）对于 $e=0$ 的情形有无简明的优化准则。
5）用以下实例验证你的方法：待加工长方体和成品长方体的长、宽、高分别为10、14.5、19和3、2、4，二者左侧面、正面、底面之间的距离分别为6、7、9(单位均为厘米)。垂直切割费用为每平方厘米1元，$r$ 和 $e$ 的数据有以下4组：
- $r =1$, $e = 0$;
- $r =1.5$, $e =0$;
- $r =8$, $e =0$;
- $r =1.5$; $2\le e\le 15$.
对最后一组数据应给出所有最优解，并进行讨论。